Catégories
Puzzles et casses têtes

Puzzle intéressant – Quadrilatère et demi-cercle – Faites attention à vos décisions

A B C D est un quadrilatère. Point O est le long UN D. Un demi-cercle a un diamètre le long UN D et est tangente aux côtés UN B, avant JC, et CD. Si UN B = 9, CD = 16, et AO = OD, quelle est la longueur de UN D?

Comme d'habitude, regardez la vidéo pour trouver une solution.

Puzzle intéressant – Quadrilatère et demi-cercle

Ou continuez à lire.
.
.

"Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions et ne vous souciez que de vos décisions." Depuis 2007, je consacre ma vie à partager les joies de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions a maintenant plus de 1000 articles gratuits sans publicité grâce au soutien de la communauté! Aidez et obtenez un accès rapide aux publications avec un engagement sur Patreon.

.
.

.
.
.
.
M
je
N

.
Oui
O
U
R
.

E
C
je
S
je
O
N
S
.
P
U
Z
Z
L
E
.
.
.
.
Réponse à un puzzle intéressant – Quadrilatère et demi-cercle

(Presque tous les messages sont transcrits rapidement après avoir fait les vidéos pour eux – s'il vous plaît laissez-moi savoir s'il y a des fautes de frappe / erreurs et je les corrigerai, merci).

Nous montrerons que le quadrilatère peut être divisé en 3 paires de triangles congruents.

Laisser E être le point tangent sur UN B, g sur avant JC, et F sur CD. Laisser O avoir un rayon r alors OE = OG = DE = r. Chacun de ces rayons est tangent à l'un des trois côtés. Après avoir construit OB, OC, et DE, nous avons divisé le quadrilatère en 6 triangles, comme indiqué ci-dessous. Nous prouverons qu'il s'agit de 3 paires de triangles congruents.

Nous voulons résoudre pour UN D = AO + OD. Nous allons le faire en résolvant pour r2 + X2 = AO2 = OD2.

Triangles AEO et OFD sont des triangles rectangles. Depuis AO = OD et OE = DE les deux triangles sont congruents. Laisser AE = X = DF.

Depuis UN B = 9, nous avons EB = UN BAE = 9 – X. Puis des triangles BGO et BEO sont congruents car ils sont tous les deux des triangles rectangles avec des côtés congruents OE = OG et OB = OB. Donc BG = EB = 9 – X.

De même, depuis CD = 16, nous avons CF = CDDF = 16 – X. Puis des triangles CGO et CFO sont congruents car ils sont tous les deux des triangles rectangles avec des côtés congruents OG = DE et OC = OC. Donc CG = CF = 16 – X.

Soit & angle;AOE = & angle;DOF = θ, & angle;EOB = & angle;GUEULE = α et & angle;DENT = & angle;COF = β.

Car UN D est une ligne droite, nous avons:

2θ + 2α + 2β = 180 °
θ + α + β = 90 °
θ = 90 ° – (α + β)

Ainsi & angle; EAO = 90 ° – & angle; EOA = α + β.

Des triangles bleus, violets et verts, nous avons:

tan (α + β) = r/X
tan α = (9 – X) /r
tan β = (16 – X) /r

Rappelez-vous la formule de somme tangente:

tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – (tan α) (tan β))

On peut alors substituer les valeurs de tan α et tan β pour obtenir:

r/X
= tan (α + β)
= (tan α + tan β) / (1 – (tan α) (tan β))
= ((9 – X) /r + (16 – X) /r) / ((1 – ((9 – X) /r) ((16 – X) /r))

Multiplier par r2/r2 et simplifier donne:

((9 – X)r + (16 – X)r) / (r2 – (9 – X) (16 – X))
= r(25 – 2X) / (r2 – (9 – X) (16 – X))
= r(25 – 2X) / (r2X2 + 25X – 144)

Ainsi nous avons:

r/X = r(25 – 2X) / (r2 – (9 – X) (16 – X))
r2X2 + 25X – 144 = X(25 – 2X)
r2X2 + 25X – 144 = 25X – 2X2
r2 + X2 = 144 = 122

Rappelez-vous maintenant:

AO2 = OD2 = r2 + X2 = 144 = 122

Donc AO = OD = 12, et UN D = AO + OD = 24.

Après pas mal de travail, le problème fonctionne assez bien!

Un merci spécial ce mois-ci à:

Mike Robertson
Michael Anvari
Kyle

Merci à tous les supporters sur Patreon.

MES LIVRES

Si vous achetez via ces liens, je peux être indemnisé pour les achats effectués sur Amazon. En tant qu'associé Amazon, je gagne des achats éligibles. Cela n'affecte pas le prix que vous payez.

(Liens américains et internationaux)
https://mindyourdecisions.com/blog/my-books

Faites attention à vos décisions est une compilation de 5 livres:

(1) La joie de la théorie des jeux: une introduction à la réflexion stratégique
(2) 40 paradoxes dans la logique, la probabilité et la théorie des jeux
(3) L'illusion d'irrationalité: comment prendre des décisions intelligentes et surmonter les préjugés
(4) Les meilleures astuces de mathématiques mentales
(5) Multiplier les nombres en dessinant des lignes

La joie de la théorie des jeux montre comment vous pouvez utiliser les mathématiques pour surpasser vos concurrents. (noté 4.2 / 5 étoiles sur 159 avis)

40 paradoxes de la logique, des probabilités et de la théorie des jeux contient des résultats stimulants et contre-intuitifs. (noté 3.9 / 5 étoiles sur 26 avis)

L'illusion d'irrationalité: comment prendre des décisions intelligentes et surmonter les préjugés est un manuel qui explique les nombreuses façons dont nous sommes biaisés dans la prise de décision et propose des techniques pour prendre des décisions intelligentes. (noté 3.8 / 5 étoiles sur 14 avis)

Les meilleures astuces de mathématiques mentales enseigne comment vous pouvez ressembler à un génie des mathématiques en résolvant des problèmes dans votre tête (noté 4,4 / 5 étoiles sur 42 avis)

Multiplier les nombres en dessinant des lignes Ce livre est un guide de référence pour ma vidéo qui a plus d'un million de vues sur une méthode géométrique pour multiplier les nombres. (noté 4.4 / 5 étoiles sur 21 avis)

Faites attention à vos puzzles est une collection des trois livres "Math Puzzles", volumes 1, 2 et 3. Les sujets de puzzles incluent les sujets mathématiques, y compris la géométrie, les probabilités, la logique et la théorie des jeux.

Math Puzzles Volume 1 présente des casse-tête et des énigmes classiques avec des solutions complètes aux problèmes de comptage, de géométrie, de probabilité et de théorie des jeux. Le volume 1 est évalué 4.6 / 5 étoiles sur 39 avis.

Math Puzzles Volume 2 est un livre de suite avec des problèmes plus graves. (évalué 4.3 / 5 étoiles sur 18 avis)

Math Puzzles Volume 3 est le troisième de la série. (noté 4.2 / 5 étoiles sur 15 avis)

KINDLE ILLIMITÉ

Les enseignants et les étudiants du monde entier m'envoient souvent des e-mails à propos des livres. Étant donné que l'éducation peut avoir un impact énorme, j'essaie de rendre les ebooks disponibles aussi largement que possible à un prix aussi bas que possible.

Actuellement, vous pouvez lire la plupart de mes ebooks via le programme "Kindle Unlimited" d'Amazon. Inclus dans l'abonnement, vous aurez accès à des millions d'ebooks. Vous n'avez pas besoin d'un appareil Kindle: vous pouvez installer l'application Kindle sur n'importe quel smartphone / tablette / ordinateur / etc. J'ai compilé des liens vers des programmes dans certains pays ci-dessous. Veuillez consulter votre site Web Amazon local pour connaître la disponibilité et les conditions du programme.

États-Unis, liste de mes livres (États-Unis)
Royaume-Uni, liste de mes livres (Royaume-Uni)
Canada, résultats de livres (CA)
Allemagne, liste de mes livres (DE)
France, liste de mes livres (FR)
Inde, liste de mes livres (IN)
Australie, résultats de livres (AU)
Italie, liste de mes livres (IT)
Espagne, liste de mes livres (ES)
Japon, liste de mes livres (JP)
Brésil, résultats de livres (BR)
Mexique, résultats de livres (MX)

MARCHANDISE

Prenez une tasse, un t-shirt et plus encore sur le site officiel de la marchandise: Faites attention à vos décisions chez Teespring.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *