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Puzzles et casses têtes

Problème d'angle intéressant du Pérou – Faites attention à vos décisions

Je remercie Juanci de m'avoir envoyé ce problème!

En quadrilatère A B C D, avant JC = CD. Si ∠BAC = 3X, ∠BCA = X, ∠GOUJAT = 5X, et ∠ACD = 3X, quelle est la valeur de X?

Comme d'habitude, regardez la vidéo pour trouver une solution.

Problème d'angle intéressant du Pérou

Ou continuez à lire.
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"Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions et ne vous souciez que de vos décisions." Depuis 2007, je consacre ma vie à partager les joies de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions a maintenant plus de 1000 articles gratuits sans publicité grâce au soutien de la communauté! Aidez et obtenez un accès rapide aux publications avec un engagement sur Patreon.

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Réponse au problème d'angle intéressant du Pérou

(Presque tous les messages sont transcrits rapidement après avoir fait les vidéos pour eux – s'il vous plaît laissez-moi savoir s'il y a des fautes de frappe / erreurs et je les corrigerai, merci).

Construction BD. Puisque avant JC = CD, ∠BDC = ∠DBC. Supposons que les angles soient égaux à y.

Depuis ∠BAC = ∠ACD = 3X, les segments de ligne UN B et CD sont parallèles. Ainsi ∠ABD = ∠ BDC = y.

Nous pouvons maintenant utiliser à plusieurs reprises la loi des sinus d’Al-Tusi. En triangle ABD, on a:

péché (8X)/péché y = BD/UN D
(équation I)

Puis en triangle BCD on a:

péché(y) / sin (4X) = avant JC/BD
(équation II)

Puis en triangle ACD et en utilisant CD = avant JC, on a:

péché (5X) / sin (3X) = CD/UN D
péché (5X) / sin (3X) = avant JC/UN D
(équation III)

On multiplie ensuite les équations (I) et (II) pour obtenir:

(péché(y) / sin (4X)) (sin (8X)/péché y) = (BD/UN D) (avant JC/BD)
péché (8X) / sin (4X) = avant JC/UN D

Comme l'équation III est également égale à avant JC/UN D, on a donc:

péché (8X) / sin (4X) = péché (5X) / sin (3X)

Nous pouvons maintenant utiliser la formule du double angle sinusoïdal:

péché (2UNE) = 2 péché UNE cos UNE

Remplacer par 2UNE = 8X on a:

2 péché (4X) cos (4X) / sin (4X) = péché (5X) / sin (3X)
2 cos (4X) = péché (5X) / sin (3X)
2 péché (3X) cos (4X) = péché (5X)

Nous utilisons ensuite le produit pour additionner la formule:

2 péché UNE cos B = péché (UNE + B) + péché (UNEB)

Remplacer par UNE = 3X et B = 4X on a:

2 péché (3X) cos (4X) = péché (5X)
péché (7X) + péché (-X) = péché (5X)
péché (7X) – péché X = péché (5X)
péché (7X) – péché (5X) = péché X
péché (7X) + péché (-5X) = péché X

Nous allons maintenant utiliser la formule somme en produit:

péché UNE + péché B = 2 sin ((UNE + B) / 2) cos ((UNE + B) / 2)

Remplacer par UNE = 7X et B = -5X on a:

2 péché (X) cos (6X) = péché X
2 cos (6X) = 1
cos (6X) = 1/2

Depuis 5X et 3X ont été donnés pour être deux angles d'un triangle, nous devons avoir 8X <180 °, alors X <22,5 ° et 6X <135 °.

Ainsi nous pouvons conclure:

6X = 60 °
X = 10 °

Un merci spécial ce mois-ci à:

Michael Anvari
Kyle

Merci à tous les supporters sur Patreon.

Remarques

Je remercie Juanci pour la suggestion.

Je remercie tous ceux qui ont répondu à Twitter sur ma demande pour trouver une solution. En particulier, je remercie @ LuisAndrRomero2 dont la solution m'a aidé à mieux présenter la réponse.
https://twitter.com/LuisAndrRomero2/status/1287933665499131905

Après avoir préparé la vidéo, j'ai découvert un moyen de résoudre en utilisant uniquement la géométrie. Voici un lien vers un diagramme de la solution (il n'y a pas d'explication, vous devez donc élaborer les étapes!): Https://eylemmath.weebly.com/geometry/trapezoid

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Faites attention à vos décisions est une compilation de 5 livres:

(1) La joie de la théorie des jeux: une introduction à la réflexion stratégique
(2) 40 paradoxes dans la logique, la probabilité et la théorie des jeux
(3) L'illusion d'irrationalité: comment prendre des décisions intelligentes et surmonter les préjugés
(4) Les meilleures astuces de mathématiques mentales
(5) Multiplier les nombres en dessinant des lignes

La joie de la théorie des jeux montre comment vous pouvez utiliser les mathématiques pour surpasser vos concurrents. (noté 4.2 / 5 étoiles sur 131 avis)

40 paradoxes de la logique, des probabilités et de la théorie des jeux contient des résultats stimulants et contre-intuitifs. (noté 3.9 / 5 étoiles sur 21 avis)

L'illusion d'irrationalité: comment prendre des décisions intelligentes et surmonter les préjugés est un manuel qui explique les nombreuses façons dont nous sommes biaisés dans la prise de décision et propose des techniques pour prendre des décisions intelligentes. (noté 3.7 / 5 étoiles sur 11 avis)

Les meilleures astuces de mathématiques mentales enseigne comment vous pouvez ressembler à un génie des mathématiques en résolvant des problèmes dans votre tête (noté 4,4 / 5 étoiles sur 34 avis)

Multiplier les nombres en dessinant des lignes Ce livre est un guide de référence pour ma vidéo qui a plus d'un million de vues sur une méthode géométrique pour multiplier les nombres. (noté 4.5 / 5 étoiles sur 19 avis)

Faites attention à vos puzzles est une collection des trois livres «Math Puzzles», volumes 1, 2 et 3. Les sujets de puzzles incluent les sujets mathématiques, y compris la géométrie, les probabilités, la logique et la théorie des jeux.

Math Puzzles Volume 1 propose des casse-tête et des énigmes classiques avec des solutions complètes aux problèmes de comptage, de géométrie, de probabilité et de théorie des jeux. Le volume 1 est évalué 4.6 / 5 étoiles sur 39 avis.

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Math Puzzles Volume 3 est le troisième de la série. (noté 4.6 / 5 étoiles sur 11 avis)

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