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Puzzles et casses têtes

Le puzzle du coût de l'article – Examen compétitif de Stanford – Faites attention à vos décisions

Une version de ce problème est apparue lors du concours de Stanford en 1947.

J'ai acheté 72 articles identiques. Chaque article avait le même coût et le coût était d'un nombre entier de dollars. Le coût total était de _679_ $ (vous ne connaissez pas le premier ou le dernier chiffre). Combien coûte chaque article?

Comme d'habitude, regardez la vidéo pour trouver une solution.

Un puzzle logique délicieux de l'examen de compétition de Stanford (1947)

Ou continuez à lire.
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"Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions, et ne vous souciez que de vos décisions." Depuis 2007, je consacre ma vie à partager les joies de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions a maintenant plus de 1000 articles gratuits sans publicité grâce au soutien de la communauté! Aidez et obtenez un accès rapide aux publications avec un engagement sur Patreon.

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Réponse à un casse-tête de coût «impossible»

(Presque tous les messages sont transcrits rapidement après avoir fait les vidéos pour eux – s'il vous plaît laissez-moi savoir s'il y a des fautes de frappe / erreurs et je les corrigerai, merci).

L'astuce consiste à considérer les règles de divisibilité. Remarquez 72 = 8 × 9, donc le coût total doit être divisible par 8 et 9.

Un nombre est divisible par 8 si ses 3 derniers chiffres sont divisibles par 8. Puisque 8 × 100 = 800, on peut voir 8 × 99 = 792 et 8 × 98 = 784. Il faut donc que le dernier chiffre soit égal à 2.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Supposons que le premier chiffre soit une. Alors la somme des chiffres est:

une + 6 + 7 + 9 + 2
= une + 6 + 18
une + 6 (mod 9)

Depuis une est un chiffre de 1 à 9, il faut avoir une = 3.

Ainsi, le coût total est de 36792, et chaque article coûte 36792/72 = 511.

Preuve de la divisibilité par 8

Supposer k ≥ 3. Tout nombre entier peut être écrit avec 3 chiffres ou plus, en utilisant des 0 non significatifs si nécessaire (12 = 012), comme suit avec le cje égal aux chiffres 0 à 9:

ck(dixk) + ck – 1(dixk – 1) +… + c2(dix2) + c1(dix1) + c0(dix0)

Puisque 1000 = 8 × 125, toute puissance supérieure de 10 est également divisible par 8 car 10k(1 000) = 10k(125 × 8). Ainsi nous avons:

ck(dixk) + ck – 1(dixk – 1) +… + c2(dix2) + c1(dix1) + c0(dix0)
c2(dix2) + c1(dix1) + c0(dix0) (mod 8)

Ainsi, un nombre est divisible par 8 si ses 3 derniers chiffres le sont.

Preuve de la divisibilité par 9

Nous pouvons écrire un nombre en base 10 comme:

ck(dixk) + ck – 1(dixk – 1) +… + c2(dix2) + c1(dix1) + c0(dix0)

Puisque 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1, etc., chaque puissance de 10 est 1 de plus qu'un multiple de 9. Donc 10k ≡ 1 (mod 9).

ck(dixk) + ck – 1(dixk – 1) +… + c2(dix2) + c1(dix1) + c0(dix0)
ck + ck – 1 +… + c2 + c1 + c0 (mod 9)

Ainsi, un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres le sont.

La source

Puzzle sur Cut The Knot
https://www.cut-the-knot.org/Outline/Arithmetic/DivisionBy72.shtml

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(2) 40 paradoxes dans la logique, la probabilité et la théorie des jeux
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(4) Les meilleures astuces de mathématiques mentales
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La joie de la théorie des jeux montre comment vous pouvez utiliser les mathématiques pour surpasser vos concurrents. (noté 4.2 / 5 étoiles sur 141 avis)

40 Paradoxes de la logique, des probabilités et de la théorie des jeux contient des résultats stimulants et contre-intuitifs. (noté 4/5 étoiles sur 23 avis)

L'illusion d'irrationalité: comment prendre des décisions intelligentes et surmonter les préjugés est un manuel qui explique les nombreuses façons dont nous sommes biaisés dans la prise de décision et propose des techniques pour prendre des décisions intelligentes. (noté 3.7 / 5 étoiles sur 11 avis)

Les meilleures astuces de mathématiques mentales enseigne comment vous pouvez ressembler à un génie des mathématiques en résolvant des problèmes dans votre tête (noté 4,4 / 5 étoiles sur 38 avis)

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Math Puzzles Volume 2 est un livre de suite avec des problèmes plus graves. (noté 4.5 / 5 étoiles sur 14 avis)

Math Puzzles Volume 3 est le troisième de la série. (noté 4.6 / 5 étoiles sur 12 avis)

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