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Puzzles et casses têtes

Le puzzle des cubes empilés – Faites attention à vos décisions

Les cubes avec des longueurs d'arête de 3, 2 et 1 sont empilés dans l'ordre avec leurs faces gauche et arrière alignées, comme illustré ci-dessous. Une ligne est tracée entre les coins opposés de la face inférieure du 3 cube et la face supérieure du 1 cube. Quelle est la longueur de la ligne contenue à l'intérieur du cube du milieu?

Comme d'habitude, regardez la vidéo pour trouver une solution.

Le puzzle des cubes empilés

Ou continuez à lire.
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"Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions, et ne vous souciez que de vos décisions." Depuis 2007, je consacre ma vie à partager les joies de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions a maintenant plus de 1000 articles gratuits sans publicité grâce au soutien de la communauté! Aidez et obtenez un accès rapide aux publications avec un engagement sur Patreon.

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Réponds à

(Presque tous les messages sont transcrits rapidement après avoir fait les vidéos pour eux – s'il vous plaît laissez-moi savoir s'il y a des fautes de frappe / erreurs et je les corrigerai, merci).

Je vais présenter deux façons de résoudre le problème: des triangles similaires et une géométrie de coordonnées.

Méthode 1: triangles similaires

Construisez un triangle rectangle où la jambe la plus courte est la diagonale du cube du bas, la jambe la plus longue est la hauteur des trois cubes et la diagonale est la ligne entre les coins des cubes du bas et du haut.

La jambe la plus courte est la diagonale d'un carré avec une longueur de côté de 3, donc sa longueur est égale à 3√2. La jambe la plus longue est égale à 3 + 2 + 1 = 6.

Nous pouvons utiliser le théorème de Gougu pour calculer l'hypoténuse de ce triangle:

√ (62 + (3√2)2)
= √ (36 + 18)
= √54
= 3√6

Les lignes horizontales divisent le grand triangle en deux triangles rectangles similaires. La jambe la plus longue est divisée en un rapport de 1: 2: 3, de sorte que l'hypoténuse sera également divisée dans le même rapport de 1: 2: 3. Ainsi, l'hypoténuse est divisée en longueurs de X, 2Xet 3X. L'hypoténuse entière est égale à 3√6, nous avons donc:

X + 2X + 3X = 3√6
6X = 3√6
2X = √6

Résolvons maintenant le problème d’une autre manière.

Méthode 2: géométrie des coordonnées

Supposons que le coin arrière gauche du cube 3 soit l'origine (0, 0, 0). Ensuite, nous pouvons étiqueter le coin opposé par le point P(3, 3, 0), et nous pouvons étiqueter le coin supérieur du 1 cube comme (0, 0, 6), car le coin supérieur est à 6 unités verticales au-dessus de l'origine. Nous souhaitons calculer la longueur du segment de ligne PQ contenu entre les avions z = 3 et z = 5.

On peut calculer le vecteur PQ première:

PQ = (0, 0, 6) – (3, 3, 0)
PQ = (-3, -3, 6)

On peut alors écrire l'équation paramétrique de la ligne passant par le point P le long du vecteur PQ:

r = point P + t(PQ)
r = (3, 3, 0) + t(-3, -3, 6)
r = (3 – 3t, 3 – 3t, 6t)

Nous résolvons l'intersection de cette droite avec z = 3 et z = 5.

z = 3
6t = 3
t = 0,5
(3 – 3 (0,5), 3 – 3 (0,5), 6 (0,5))
(1,5, 1,5, 3)

z = 5
6t = 5
t = 5/6
(3 – 3 (5/6), 3 – 3 (5/6), 6 (5/6))
(0,5, 0,5, 5)

Enfin, nous pouvons calculer la distance entre ces points en utilisant la formule de distance.

√ ((0,5 – 1,5)2 + (0,5 – 1,5)2 + (5 à 3)2)
= √ (12 + 12 + 22)
= √6

Référence

Le puzzle m'a été envoyé par e-mail avec un filigrane pour D-Quant sur Facebook. (J'essaie de créer un lien vers des sources, mais je n'ai pas pu trouver de lien en ligne vers le puzzle original).

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