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Puzzles et casses têtes

Le puzzle carré plié – Faites attention à vos décisions

Je remercie Ankit et Amlan pour la suggestion. Ce problème est adapté d'une épreuve d'examen du Chennai Mathematical Institute.

Un carré A B C D a une longueur de côté 10 et E est le milieu de UN D. Pliez le carré du sommet UNE le long du segment de ligne ÊTRE, tel que UNE va au point F, comme montré:

Quelle est la distance entre F et le segment de ligne DC?

Comme d'habitude, regardez la vidéo pour trouver une solution.

Le puzzle carré plié

Ou continuez à lire.
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"Tout ira bien si vous utilisez votre esprit pour vos décisions, et ne vous souciez que de vos décisions." Depuis 2007, je consacre ma vie à partager les joies de la théorie des jeux et des mathématiques. MindYourDecisions a maintenant plus de 1000 articles gratuits sans publicité grâce au soutien de la communauté! Aidez et obtenez un accès rapide aux publications avec un engagement sur Patreon.

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M
je
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Oui
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je
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P
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Z
Z
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Réponse au puzzle carré plié

(Presque tous les messages sont transcrits rapidement après avoir fait les vidéos pour eux – veuillez me faire savoir s'il y a des fautes de frappe / erreurs et je les corrigerai, merci).

Il existe de nombreuses façons de résoudre le problème et je présenterai 3 méthodes: des triangles similaires, une géométrie coordonnée et une trigonométrie.

1. Triangles similaires

Construction UN F sécante EB à ce point g. Depuis chacun de E et B est équidistant de UNE et F, EB est la bissectrice perpendiculaire de UN F.

Pour le triangle rectangle AEB, on peut calculer EB en utilisant le théorème de Gougu:

EB = √ (52 + 102)
EB = 5√5

Triangles ÂGE et BAE sont similaires car les deux sont des triangles rectangles avec un angle aigu commun AEB. Par conséquent, nous pouvons résoudre pour AG:

AG/EA = BA/EB
AG = EA(BA/EB)
AG = 5 (10 / (5√5))
AG = 10 / √5

Puis depuis EB bissecte UN F, on a GF = AG = 10 / √5.

Nous construisons alors FH qui est perpendiculaire à UN D.

Les triangles AHF et ÂGE sont similaires car ce sont des triangles rectangles avec un angle aigu commun EAG. Puisque ÂGE est similaire à BAE, on a AHF est similaire à BAE. Ainsi nous avons:

AH/FA = BA/EB
AH = FA(BA/EB)
AH = (20 / √5) (10 / (5√5))
AH = 8

ensuite AH + HD = 10, donc HD = 2. Mais alors HD est exactement la distance verticale de F à DC, donc la réponse est 2.

2. Géométrie des coordonnées

Soit l'origine le coin inférieur gauche du carré afin que nous ayons les coordonnées suivantes pour les points du carré:

La ligne reliant (0, 5) et (10, 10) a une pente égale à (10 – 5) / (10 – 0) = 1/2, et sa y-intercept est 5. Ainsi son équation est:

y1 = (1/2)X + 5

Le segment de ligne reliant (0, 10) et F est perpendiculaire et coupée en deux par la ligne ci-dessus. La pente perpendiculaire est la réciproque négative de 1/2 donc la nouvelle ligne a une pente égale à -2. le y-intercept vaut 10, donc cette ligne a une équation:

y2 = -2X + 10

Nous pouvons résoudre le point d'intersection g en définissant les équations des lignes égales les unes aux autres:

y1 = y2
(1/2)X + 5 = -2X + 10
2,5X = 5
X = 2

La substitution dans l'une ou l'autre équation donne y = 6. Puis g est le milieu de F(p, q) et (0, 10), nous pouvons donc faire la moyenne y-coordonnées pour obtenir:

(10 + q) / 2 = 6
q = 2

Cette coordonnée est exactement la distance verticale au-dessus du côté inférieur du carré, donc encore une fois, la réponse est 2.

3. Trigonométrie

Triangles AEB et FÉV sont congruents parce qu'ils reflètent les uns les autres EB. Donc EF = 5, FB = 10. Et l'hypoténuse de chaque triangle est EB = 5√5 comme calculé précédemment.

Supposons des angles ABE et EBF avoir une mesure θ. Construisez également FP perpendiculaire à UN B.

En triangle FPB, on a:

péché (2θ) = FP/dix

En utilisant la formule du double angle, nous obtenons:

2 péché (θ) cos (θ) = FP/dix

En triangle EFB on peut calculer:

péché(θ) = 5 / (5√5)
cos (θ) = 10 / (5√5)

En remplaçant et en simpflying, nous obtenons:

2 péché (θ) cos (θ) = FP/dix
2 (5 / (5√5)) (5 ​​/ (5√5)) = FP/dix
(4/5) = FP/dix
8 = FP

La distance verticale de DC à UN B vaut 10 et FP = 8 est la distance verticale de F à UN B. Ainsi, la distance verticale de DC à F est 2.

C’est un problème très intéressant qui peut être résolu de différentes manières!

Nouvelles

Ce problème est adapté d'un article d'examen du Chennai Mathematical Institute (CMI), un institut de recherche et d'enseignement de premier plan en Inde. Il est triste de lire que le professeur C. S. Seshadri, le fondateur du CMI, est décédé cette semaine à 88 ans. En topologie algébrique, la constante Seshadri porte son nom. K. VijayRaghavan, conseiller scientifique principal du gouvernement indien, écrit: «C. La contribution durable de S. Seshadri est qu’il s’est assuré qu’il y en aurait beaucoup plus comme lui du CMI et de toute l’Inde. Une vie en mathématiques, en musique, en création d'institutions et en humanisme. Cela vaut la peine d'être compris et ses valeurs fondamentales méritent d'être imitées, peu importe ce que nous faisons. »
https://twitter.com/PrinSciAdvGoI/status/1284406586140528640

C.S. Seshadri sur Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/C._S._Seshadri

Constante de Seshadri
https://en.wikipedia.org/wiki/Seshadri_constant

Magazine Bhavana. Des preuves à la transcendance, via les théorèmes et Rāgas. C.S. Seshadri en conversation
https://bhavana.org.in/proofs-transcendence-cs-seshadri/

C.S. Seshadri décède à 88 ans
https://theprint.in/theprint-profile/cs-seshadri-padma-bhushan-and-chennai-mathematical-institute-founder-passes-away-at-88/463840/

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